En matematicas, se denomina polinomio a la suma de varios monomios (llamados términos del polinomio).

Grado de un polinomio

El polinomio de un sólo término se denomina monomio; el de dos, binomio; el de tres, trinomio; el de cuatro, cuatrinomio o polinomio de "N" términos dependiendo de cuantos haya.


Suma de polinomios


Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.
1.- Ordenamos los polinomios, si no lo están.
2.- Agrupamos los monomios del mismo grado.
3.- Sumamos los monomios semejantes.
También podemos sumar polinomios escribiendo uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar.
Por ejemplo:

P(x) = 7x⁴ + 4x² + 7x + 2        Q(x) = 6x³ + 8x +3

 

P(x) + Q(x) = 7x⁴ + 6x³ + 4x² + 15x + 5

Resta de polinomios

 La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo.

Por ejemplo:  

P(x) − Q(x) = (2x³ + 5x − 3) − (2x³ − 3x² + 4x) 

P(x) −  Q(x) = 2x³ + 5x − 3 − 2x³ + 3x² − 4x

P(x) −  Q(x) = 2x³ − 2x³ + 3x² + 5x − 4x − 3

P(x) −  Q(x) = 3x² + x − 3

  

Multiplicación de polinomios

Multiplicación de un número por un polinomio

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.

3 · (2x³ − 3 x² + 4x − 2) = 6x³ − 9x² + 12x − 6 

Multiplicación de un monomio por un polinomio

Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.

3x² · (2x³ − 3x² + 4x − 2) = 6x⁵ − 9x⁴ + 12x³ − 6x²

Multiplicación de polinomios

P(x) = 2x² − 3    Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x

Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.

P(x) ·  Q(x) = (2x² − 3) · (2x³ − 3x² + 4x) =

= 4x⁵ − 6x⁴ + 8x³ − 6x³ + 9x² − 12x =

Se suman los monomios del mismo grado.

= 4x⁵ − 6x⁴ + 2x³ + 9x² − 12x

Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:

Regla de Ruffini

Para explicar los pasos a aplicar en la regla de Ruffini vamos a tomar de ejemplo la división:

(x⁴ − 3x² + 2 ) : (x − 3) 

1.- Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros.

2.- Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.

3.- bajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independendiente del divisor.

4.- Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.

5.- Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente término.

6.- Sumamos los dos coeficientes.

7.- Repetimos el proceso anterior.

Volvemos a repetir el proceso.

Volvemos a repetir.

8.- El último número obtenido, 56 , es el resto.

9.- El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido. 

x³ + 3 x² + 6x +18 

Factorización de un polinomio

Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini.

Descomposición de un polinomio de grado superior a dos y cálculo de sus raíces

P(x) = 2x⁴ + x³ − 8x² − x + 6

1.- Tomamos los divisores del término independiente±1, ±2, ±3.
2.- Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.

P(1) = 2 · 1⁴ + 1³ − 8 · 1² − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 0

3.- Dividimos por Ruffini.

4.- Por ser la división exacta, D = d · c .

(x − 1) · (2x³ + 3x² − 5x − 6 )

Una raíz es x = 1.

-Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.

-Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado.

P(1) = 2 · 1³ + 3 · 1² − 5 · 1 − 6≠ 0

P(−1) = 2 · (− 1)³ + 3 · (− 1)² − 5 · (− 1) − 6 = −2 + 3 + 5 − 6 = 0

(x −1) · (x +1) · (2x² +x −6)

Otra raíz es x = −1.

-El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la ecuación de 2º grado o tal como venimos haciéndolo, aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos encontrar raíces enteras.

-El 1 lo descartamos y seguimos probando por −1.

P(−1) = 2 · (−1)² + (−1) − 6 ≠ 0

P(2) = 2 · 2² + 2 − 6 ≠ 0

P(−2) = 2 · (−2)² + (−2) − 6 = 2 · 4 − 2 − 6 = 0

(x − 1) · (x + 1) · (x + 2) · (2x − 3 )

-Sacamos factor común 2 en último binomio.

2x − 3 = 2 (x − 3/2)

La factorización del polinomio queda:

P(x) = 2x⁴ + x³ − 8x² − x + 6 = 2 (x −1) · (x +1) · (x +2) · (x − 3/2)

Las raíces son : x = 1, x = − 1, x = −2 y x = 3/2